Скачать почту Mail.ru на компьютер не получится: официального почтового приложения для ПК у сервиса нет.
Работать с почтовым ящиком можно через через стороннее почтовое приложение или веб-интерфейс в браузере. Например, в Яндекс Браузере вы можете пользоваться почтой Mail.ru как веб-приложением — открывать одним нажатием и работать в отдельном окне, а не искать нужную вкладку.